Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen - download pdf or read online

By Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

ISBN-10: 3540898220

ISBN-13: 9783540898221

ISBN-10: 3540898239

ISBN-13: 9783540898238

Diese grundlegende Einführung wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt und soll die für das Studium benötigten Konzepte und Werkzeuge aus dem Gebiet der research bereitstellen. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt:

Algorithmischer Zugang

Schlanke Darstellung

Software als integrativer Bestandteil

Betonung von Modellbildung und Anwendungen der research.

Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte algorithmische Zugang beinhaltet:

Entwicklung der Grundlagen der research aus algorithmischer Sichtweise

Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets

Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen research.

Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

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3. Der Strahlensatz. Offensichtlich gelten in Abb. 3 die Beziehungen a a′ = ′, c c b b′ = ′, c c a a′ = ′, b b da bei einer Ver¨anderung das Maßstabs (Vergr¨oßerung oder Verkleinerung des Dreiecks) alle Seiten mit dem gleichen Faktor ver¨andert werden. Man schließt daraus, dass die Verh¨altnisse der Seiten nur vom Winkel α (beziehungsweise von β = 90◦ − α) abh¨angen. Das gibt Anlass zu folgender Definition. 2 (Winkelfunktionen) a c b cos α = c a tan α = b b cot α = a sin α = F¨ ur 0 ≤ α < 90◦ definiert man Gegenkathete Hypotenuse Ankathete = Hypotenuse Gegenkathete = Ankathete Ankathete = Gegenkathete = (Sinus), (Cosinus), (Tangens), (Cotangens).

Q n , qSn = q + q 2 + q 3 + . . + q n+1 . die Formel (1 − q)Sn = 1 − q n+1 , woraus das Resultat folgt. Der Fall |q| < 1: Wegen q n+1 → 0 ergibt sich die Konvergenz der Reihe mit Wert 1 − q n+1 1 S = lim = . n→∞ 1−q 1−q Der Fall |q| > 1: F¨ ur q > 1 geht Sn = (q n+1 − 1)/(q − 1) → ∞ und die Reihe divergiert. Im Falle q < −1 ist Sn = (1 − (−1)n+1 |q|n+1 )/(1 − q) unbeschr¨ankt oszillierend, also ebenfalls divergent. Der Fall |q| = 1: F¨ ur q = 1 ist Sn = 1 + 1 + . . + 1 = n + 1 und strebt gegen unendlich; f¨ ur q = −1 oszilliert Sn zwischen 1 und 0.

1 . . (n) Sei weiter α2 ∈ {0, . . , 9} die kleinste obere Schranke f¨ ur α2 . Es gibt n2 ∈ N mit (n) α2 = α2 f¨ ur alle n ≥ n2 . α1 α2 . . α1 α2 α3 α4 . . definiert. Es bleibt noch zu zeigen, dass a = limn→∞ an ist. Sei dazu ε > 0. Wir suchen zun¨achst ein j ∈ N, sodass 10−j < ε ist. 000 . . 0 αj+1 αj+2 . . , da die ersten j Stellen nach dem Komma in a mit jenen von an u ¨bereinstimmen, sofern n ≥ nj ist. Somit gilt |a − an | ≤ 10−j < ε f¨ ur n ≥ nj . Mit n(ε) = nj wird damit die in Def.

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Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen by Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann


by Jason
4.3

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